En esta sección se desarrolla el análisis del modelo cinemático y dinámico del robot accionado por cuatro cables de dos grados de libertad con el fin de diseñar el controlador tipo PID para trazar cuatro figuras diferentes las cuales se muestran en la Tabla 1. Además, se diseña la estructura del prototipo, a través de un software de diseño asistido por computadora (CAD) denominado Autodesk Inventor Professional 2016, a partir del espacio de trabajo y del uso de servomotores de la marca Dynamixel AX-12A. Asimismo, se desarrolla el diseño electrónico para controlar el prototipo mediante la memoria compartida, utilizando la Librería SAS Tools para el software MATLAB para la comunicación entre la computadora y el prototipo. Finalmente, se realizan pruebas para determinar la repetibilidad del prototipo y se muestra los trazos realizados sobre los patrones de referencia establecidos. La metodología aplicada en esta investigación se divide en cuatro etapas:
Estas etapas son muy importantes para el funcionamiento del prototipo y se detallan a continuación:
Los robots accionados por cuatro cables con dos grados de libertad proporcionan dos movimientos traslacionales tanto en el eje 
como en el eje 
, donde cuatro cables son sujetados en un punto denominado como efector final. Las características que posee este robot son baja inercia, baja fricción y gran destreza de movimiento en el espacio de trabajo. El diseño del prototipo propuesto es considerado con redundancia de actuación, es decir, más cables que grados de libertad para evitar que algunos requieran mayor tensión o que el efector pueda perder el control en algún punto del espacio de trabajo cuando uno de los cables no mantenga la tensión necesaria (Khosravi y Taghirad, 2013).
Modelo cinemático de posición del robot paralelo accionado por cuatro cables
El modelo cinemático de este robot relaciona las longitudes de los cables con la posición del efector final, como también el cálculo inverso desde la posición del efector final a las longitudes de los cables. Las relaciones mencionadas se conocen como cinemática directa e inversa, respectivamente. Para realizar el análisis del modelo cinemático del robot paralelo accionado por cuatro cables se considera que todos los cables siempre se mantienen en tensión. La Figura 1 describe el esquema del modelo cinemático, donde el origen de la referencia está dado por el vector 
el cual se encuentra ubicado en el centroide de la base cuadrada de lado 
. Cada uno de los actuadores se encuentra en la posición dada por 
; la longitud de los cables es descrito por 
, los ángulos por 
, donde 
y la posición del efector final del robot es dado por el vector 
.
Figura. 1:Esquema
para el estudio del modelo cinemático del robot paralelo accionado por cuatro cables.
Solamente calculando la norma entre la posición del efector final y las posiciones de los actuadores 
, la cinemática inversa es obtenida (Aguas, Cuaycal, Paredes y Herrera, 2018). En la Ecuación 1 se describe como obtener la longitud de los cables a partir de la posición del efector final 
.
La solución de la posición del efector final mostrada en la Ecuación 2 está dada al realizar la intersección de dos circunferencias, la primera centrada en 
con radio 
y la otra centrada en 
con radio 
.
Para afirmar que la posición del efector final se encuentre dentro de la base cuadrada se elige la solución positiva y posteriormente se realiza el cambio de referencia al centroide del cuadrado. Este método es aplicado para cualquier robot planar accionado por cables.
Modelo dinámico del efector final
Para definir el modelo dinámico del efector final se requiere el uso de la Segunda Ley de Newton, la cual establece que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza total que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. La Ecuación 3 expresa la ley mencionada:
Donde:
: Matriz de masas,
: Posición del efector final,
: Fuerza resultante de todos los cables (tensiones) actuando sobre el efector final.
Modelo dinámico del sistema de enrollamiento
Para definir el modelo dinámico del sistema de enrollamiento se considera el comportamiento dinámico del eje unido con la polea que enrolla el cable. El diagrama de cuerpo libre para el eje del motor junto con la polea para el i-ésimo cable se muestra en la Figura 2. En este diagrama, el ángulo de la polea 
cuando el efector final se encuentra localizado en el centroide del cuadrado, desde esta posición es medido este ángulo, en el caso del debe ser de acuerdo a la posición de cada actuador.
Figura. 2:Sistema
eje del motor-polea.
La Ecuación 4 se determina a partir del diagrama de cuerpo libre mostrado anteriormente donde se observa cómo se combina el eje del motor y la polea de enrollamiento:
Donde:
: Matriz diagonal de inercias rotacionales de los motores,
: Matriz diagonal de coeficientes de viscosidad de los motores,
: Vector de ángulos de las poleas,
: Vector de tensiones,
: Vector de torques generado por los motores,
: Radio de la polea.
Con el fin de presentar las tensiones que ejercen los cables en función de la posición angular y los torques de los motores, se obtiene lo siguiente:
Modelo dinámico del sistema
El modelo dinámico del sistema se encuentra combinando las ecuaciones dinámicas de movimiento del efector final y del sistema de enrollamiento, junto con la cinemática inversa de posición que relaciona los ángulos de las poleas 
a partir de la posición del efector final . El modelo general del sistema puede ser expresado como la ecuación de la robótica, a través de la relación estática 
mostrada en (Aguas et al., 2018) y es representado por la Ecuación 6:
Escribiendo la Ecuación 6 de forma simplificada, se obtiene:
Donde:
: Matriz de inercia,
: Matriz de Coriolis,
: Matriz Jacobiano estático,
Diseño mecánico
El diseño de las partes mecánicas es realizado en un software de diseño asistido por computadora (Software CAD) denominado Autodesk Inventor Professional 2016 que ofrece herramientas versátiles para diseño mecánico y validación de las piezas antes de fabricarlas.
Para el diseño de las poleas se consideró un radio de 0.03 m para que en cada vuelta la polea enrolle o desenrolle 0.18 m de cable. La Ecuación 8 muestra el cálculo de la longitud del cable que abarca en una vuelta de la polea.
En el diseño de las poleas el parámetro más relevante es el diámetro del hilo (1 mm) porque es de vital importancia que pueda alojarse sin salirse de las ranuras durante el giro de las poleas. En el diseño del roscado, el parámetro conocido como paso fue escogido en un rango de 3 a 5 mm, el cual define la distancia que existe entre dos hilos adyacentes. Por otro lado, con el estudio previo realizado en la selección de los actuadores, los servomotores Dynamixel AX-12A al ser configurados en modo ‘articulación’ (modo para recibir valores de ángulos) tienen el giro restringido hasta 300°; por esta razón, se debe implementar un sistema de engranajes que permitan a las poleas girar por lo menos tres veces más de lo que el servomotor brinda para recoger o desplegar cable para realizar las figuras propuestas. A través de la herramienta para generar engranajes que posee este software CAD permite el diseño rápido y eficiente de engranajes, se diseña el sistema de transmisión a través de engranajes para aumentar el giro de los motores y por ende el giro de las poleas. El módulo de los engranes diseñados es 0.83, este parámetro identifica a un conjunto de engranajes permitiendo conocer las dimensiones tanto de los dientes como de todo el engranaje, en otras palabras dos engranajes que se acoplen correctamente tienen el mismo módulo Además, se diseña los soportes para los actuadores de acuerdo a las dimensiones de los servomotores Dynamixel AX-12A y a la separación que debe existir entre los engranajes para que se acoplen correctamente. Esta pieza cuenta con perforaciones para que los tornillos pasen a través de él y se sujete a la base cuadrada del prototipo de robot paralelo accionado por cuatro cables. Finalmente, la base del robot es una placa cuadrada de Madera MDF de 0.7 m de lado y un grosor de 0.006 m para que no exista deformaciones por el peso del efector final y se coloca un vidrio que representa el área de trabajo del robot con el objetivo de reducir la fricción del efector final durante su movimiento. La base cuenta con perforaciones para sujetar los actuadores y los soportes del prototipo. Figura 3 ilustra el prototipo de un robot paralelo accionado por cuatro cables.
Figura. 3:Prototipo
de un robot paralelo accionado por cuatro cables.
Diseño electrónico
Para realizar el diseño la placa de control integrando la tarjeta de control ARDUINO y el circuito integrado 74HC241/126 para el control de los servomotores del prototipo se utiliza el software Proteus Design Suite 8.6, el cual permite la construcción de placas electrónicas a partir del diseño y simulación. Activando uno de los puertos seriales (UART o USART) de la tarjeta de control ARDUINO se puede comunicar con el servomotor Dynamixel AX-12A. El diseño de la placa de control final del prototipo es realizado con un estilo actual conocido como SHIELD de tal manera que los circuitos modulares se monten para ampliar las capacidades de la tarjeta ARDUINO. Generalmente en el diseño se considera la forma estándar del ARDUINO con el espacio de los pines para que pueda encajarse sin problemas. La placa consta de puertos para conectar los visualizadores leds y botones para que el robot se posicione en una de las esquinas del espacio de trabajo para borrar la figura trazada y otro botón para que regrese a su posición de origen (centroide de base cuadrada).
Diseño del software de control
El desarrollo del software de control está compuesto por tres partes. La primera se encarga de obtener la posición de los servomotores a través de la lectura de los encoders con el sistema embebido ARDUINO. La segunda parte es una aplicación desarrollada en C++ a través del software VISUAL STUDIO 2012 que se encarga de comunicar la computadora con la tarjeta embebida ARDUINO para enviar y recibir los datos de ángulo correspondientes de cada uno de los actuadores. Por otro lado, la última etapa procesa toda la información adquirida y comanda el robot por medio de una memoria compartida de la librería SAS TOOLS en el software MATLAB 2017A para realizar el trazado de figuras predefinadas. El esquema del software de control del robot paralelo accionado por cuatro cables es representado en la Figura 4
Figura 5.
Figura. 4:Esquema
del software de control del robot paralelo accionado por cuatro cables.
La trama de datos se basa en una comunicación maestro-esclavo, donde la computadora realiza la petición de los datos de posición de cada servomotor de forma periódica al sistema embebido ARDUINO para ser procesadas y visualizadas en la interfaz gráfica. La trama de datos del esclavo contiene un encabezado y los datos correspondientes de posiciones de los servomotores leídos a través de los encoders, por otro lado, la trama de datos del maestro contiene el encabezado y los ángulos deseados que deben posicionarse los servomotores. Es importante recalcar que los datos que se envía o recibe son de 16 bits los cuales son separados en dos datos de 8 bits para formar la trama a una velocidad de 115200 bps. Por otro lado, a través de la librería SAS TOOLs se puede emplear el bloque de memoria compartida en Simulink, el cual se caracteriza porque puede configurarse de acuerdo a los requerimientos de la aplicación a desarrollarse, es decir, el usuario puede elegir el número de entradas y salidas que requiera. La memoria compartida para el prototipo de robot paralelo accionado por cuatro cables cuenta con cuatro entradas y salidas respectivamente, cada uno de los datos recibidos y enviados son de tipo flotante. Las entradas son las posiciones deseadas de cada servomotor y las salidas son las posiciones actuales de los mismos.
Figura. 5:Bloque
de memoria compartida del prototipo para MATLAB/Simulink.
Desarrollo del controlador para el robot paralelo accionado por cuatro cables
Para garantizar que cada componente del vector 
sea positivo o al menos cero se introduce una fuerza virtual 
.
Con esta consideración se desarrolla una ley de control con el fin de que todos los componentes del vector de torque sean positivos cuando la posición del efector final está dentro del espacio de trabajo estático. La ley de control propuesta en este estudio es un control PI para asegurar que el efector final llegue al punto deseado. Para el diseño del controlador, el error de seguimiento es definido como:
Donde:
: Vector de posición deseado.
: Vector de posición del efector final del prototipo.
El controlador PI tiene la siguiente forma:
Los valores de los parámetros de sintonización del controlador para el trazado de figuras son 
y 
.
El esquema de control mostrado en la Figura 6funciona de la siguiente manera: el controlador PI genera una fuerza virtual 
y, a través del cálculo de la relación de fuerza a torques (Ecuación 9), permite que las acciones de control cambien garantizando que la tensión de los cables se mantenga durante el movimiento del efector final. Estas acciones de control 
ingresan al modelo del robot paralelo accionado por cuatro cables con el fin de obtener los valores de ángulos deseados de las poleas 
que serán enviadas al prototipo desarrollado. Cada actuador tiene un controlador tipo PID, el cual ha sido configurado a través del propio software que brinda el fabricante para garantizar que el servomotor llegue a la posición angular deseada. Es primordial mencionar que no se puede obtener directamente la posición del efector final del prototipo 
, mediante los encoders de cada actuador, por esta razón se utiliza una codificación con la lectura de los encoders de cada ángulo de las poleas 
para determinar las longitud de los cables 
a través de la Ecuación 12.
Donde:
: Longitud inicial de los cables,
: Ángulos de los servomotores.
Una vez obtenidas las longitudes de los cables es necesario utilizar la cinemática directa de posición presentada en la Ecuación 2 que relaciona la longitud de los cables y la posición del efector final con el fin de realimentar dicha posición.
Figura. 6:
Esquema de control implementado para el robot paralelo accionado por cuatro cables en MATLAB/Simulink.
El esquema de control propuesto, únicamente trabajará correctamente si se mantiene una tensión suficiente en todos los cables durante el movimiento del efector final.
. Las pruebas desarrolladas fueron realizadas a través del software computacional MATLAB, donde se analiza la prueba para determinar la repetitibilidad del robot para el trazado de figuras bajo un patrón de referencia.
(4)
: Desviación estándar,
: Valor de un conjunto de datos,
: Media de un conjunto de datos,
: Número de trayectorias
: Desviación estándar promedio,
: Valor de la desviación estándar en cada instante de tiempo (0.1 segundos),
: Número de datos.
