Aproximación empírica para el diseño de planes de muestreo simple por atributos bajo inspección normal basados en las normas COVENIN 3133-1:2001 y MIL-STD-105E

3.1. Tamaño de muestra

Las primeras tres columnas de la Tabla 1 muestran un resumen de los tamaños de muestra n para el nivel de inspección normal II para un muestreo simple por atributos de la norma COVENIN 3133-1:2001, (Comisión Venezolana de Normas Industriales, 2001; Department of Defense, 1989), en la misma, se evidencia que tanto el tamaño de muestra como la amplitud de los intervalos tienden a aumentar con el tamaño del lote N, este comportamiento parece indicar que existe una relación o asociación matemática que define el tamaño de muestra en función del tamaño del lote, sin embargo, tal expresión no aparece definida de forma explícita en la norma, una forma de estimarla es hacer un ajuste empírico apoyándose en el análisis de regresión. Dado que la tasa de crecimiento de los intervalos y el tamaño muestra aumenta con el tamaño del lote, esta ecuación posiblemente sea de naturaleza potencial o exponencial.

La Figura 1 muestra un primer ajuste para establecer una relación de regresión empírica entre las variables x e y, la misma se realizó tomando como valor de la variable independiente x al límite superior de los intervalos para los tamaños de los lotes, y como variable dependiente y al tamaño de muestra propuesto por la norma. La variable x se seleccionó de esta manera ya que se desea que el tamaño máximo de muestra a tomar en un intervalo dado coincida en lo posible con el valor máximo de dicho intervalo propuesto por la norma. Dicha gráfica muestra que la relación existente es de naturaleza potencial, y que si bien presenta un excelente ajuste de R²=96,58%, la tasa de crecimiento tiende a ser mayor para tamaños de lote pequeños, de hasta 500 unidades, denominado subconjunto 1 en la Figura 1, que para tamaños de lote mayores, denominado subconjunto 2 en la Figura 1, si bien los desvíos de los datos de la función de regresión parecen ser pequeños, no debe olvidarse que están medidos en escala logarítmica, por lo cual tales diferencias, desvíos o errores de estimación, se inflan notablemente al aplicar antilogaritmos, por esta razón se propone construir dos ecuaciones de regresión potencial, una para el subconjunto 1, y otra para el subconjunto 2, a fin de minimizar estas desviaciones. Cabe destacar, que el tamaño del lote N=500 es considerado en los cálculos de ambas ecuaciones de regresión para que se tome en cuenta la información de todos los valores de la variable x de forma continua.

La Figura 2 muestra las ecuaciones de regresión obtenidas para estimar el tamaño de muestra a extraer en función del tamaño del lote, en la misma se observa que al definir esta función con dos ecuaciones, no solo aumenta el coeficiente de ajuste R² para ambas ecuaciones, sino que además se minimizan las desviaciones de los tamaños de muestra observados con respecto a la línea de tendencia o tamaños de muestra estimados, en las tres últimas columnas de la Tabla 1 se muestran los valores estimados para tales ecuaciones junto con el porcentaje de error relativo de estimación cometido al estimar el tamaño de muestra a extraer en función del tamaño lote, los mismos no difieren en más de 10% para ninguna de las observaciones tabuladas, lo cual constituye una muy buena aproximación. Es necesario indicar que se definió como error a , y como porcentaje de error relativo a , siendo el tamaño de muestra propuesto por la norma COVENIN 3133-1:2001 para el i-ésimo límite superior de los intervalos de tamaño de lotes, y el tamaño de muestra estimado a partir de las ecuaciones de regresión propuestas, ver Tabla 1, columnas 3 a la 6.

El sistema de ecuaciones formado por las expresiones estimadas mostradas en la Figura 2 se resuelve o se iguala para el tamaño de lote , haciendo de esta manera a la función obtenida para estimar el tamaño de muestra n continua en ese punto, esto garantiza que los tamaños de muestra estimados no presenten saltos abruptos y provengan de una función que presenta una gráfica suave, lo cual adicionalmente otorga elegancia a la aproximación empírica desarrollada en este trabajo.

A partir de esta información se propone para este esquema de muestreo la siguiente regla empírica, sea N el tamaño del lote producido y sea n el tamaño de la muestra a ser extraída, este último vendrá dado por:

Para el caso particular analizado con un tamaño de lote N=176.000 unidades, el tamaño de muestra a extraer por la ecuación (1) quedaría

unidades

El cual es significativamente menor al propuesto por la norma para el ejemplo desarrollado, n=800, este resultado no es sorprendente, ya que el tamaño del lote se encuentra más cercano a 150.000 que 500.000 unidades producidas, es de esperarse entonces que el tamaño de muestra adjudicado sea un valor más cercano a n=500 que a n=800, (Comisión Venezolana de Normas Industriales, 2001; Department of Defense, 1989).

3.2. Número máximo de unidades no conformes toleradas

Una vez determinado el tamaño de muestra a extraer, se desea calcular cuántos elementos que presenten defectos críticos pueden ser tolerados, es decir, el número de aceptación c suponiendo que la proporción de unidades no conformes del proceso p _ad es el adecuado, en ese sentido, sea n el tamaño de muestra, x la cantidad de unidades con defectos críticos, el número de aceptación o número máximo de objetos con defectos críticos tolerados para el nivel de calidad aceptable p _ad , el nivel de confianza del plan de muestreo y la función de probabilidad acumulativa, bajo tales condiciones, Montgomery (2004), indica que x _c viene dado por

Para el caso particular analizado, es decir, para el nivel de calidad aceptable de 0,65%, p _ad =0,0065, y para el nivel de confianza de 99%, la expresión (2) queda

Utilizando el software Derive 6.0, (Kutzler & Kokol-Voljc, 2003), se obtiene que para x=8, F(8)=0,9878, mientras que para x=9, F(9)=0,9958, lo cual indica que x _c =8; es decir, se aceptan hasta 8 unidades con defectos críticos y aún puede considerarse con un nivel de hasta 99% de confianza que el porcentaje de productos defectuosos del lote es de 0,65%; por otra parte, de aparecer 9 o más unidades con defectos críticos, se supondrá que el porcentaje de objetos defectuosos en el lote es superior al nivel de calidad aceptable de 0,65%. Estos resultados son cónsonos con la norma COVENIN 3133-1:2001, ya que x _c corresponde un valor que se encuentra a medio camino entre los valores tabulados por esta norma, es decir, este valor crítico es mayor que el establecido por la norma para n=500 pero menor al establecido para n=800, ver de la norma COVENIN 3133-1:2001.

Así, el plan de muestreo propuesto para el ejemplo desarrollado en este trabajo queda estructurado de la siguiente manera, para el tamaño del lote considerado de N=176.000, extraer una muestra de n=560 unidades, y considerar que el nivel de calidad aceptable de 0,65% unidades con defectos críticos no se cumple si aparecen 9 o más unidades con defectos críticos en la muestra, o dicho de otra forma, se aceptan hasta un total de x _c =8 unidades con defectos críticos en la muestra.

3.3. Curva de potencia y curva característica de operación

Cytel Software (2010), indica que la función potencia P(p) basada en la distribución binomial, la cual es aplicable al plan de muestreo con proporción de unidades defectuosas o nivel de calidad p del lote para el valor crítico o número de aceptación x _c , viene dada por

Es decir, corresponde a la probabilidad de rechazar un lote con nivel de calidad o proporción de unidades defectuosas p, dado el número de aceptación x _c . Asimismo, Canavos, (1988), indica que la función característica de operación CO(p) está dada por:

Para el ejemplo considerado, la función de potencia dada por (3) está dada por:

Los valores para la curva característica de operación dada por (4) se obtienen por diferencia. Note que la expresión (5) contempla una cantidad apreciable de cálculos basados en la distribución binomial para un conjunto de valores p crecientes y cada vez más alejados de la proporción de artículos no conformes del proceso p _ad .

La Figura 3 muestra las curvas de potencia y curva característica de operación calculadas para el ejemplo desarrollado, n=560, y para los tamaños de muestra n=500 y n=800 mostrados en la norma COVENIN 3133-1:2001; dado que la potencia de una prueba de hipótesis estadística aumenta con el tamaño de muestra si se mantiene fijo el nivel de significación (Cárdenas Castro y Arancibia Martini, 2014), es natural que la potencia de la prueba sea mayor para n=800, asimismo, dado que el tamaño de muestra del ejemplo n=560 es un valor cercano a n=500, no es de extrañar que las curvas de potencia para estos tamaños de muestra sean parecidos, aunque ninguno de los dos es uniformemente más potente, así se observa que inicialmente hay ligeramente más potencia para n=500 pero alrededor de p=0,2 el comportamiento cambia, esto puede deberse a la naturaleza discreta de la distribución binomial y a la forma en la cual se escoge x _c , es decir, por aproximaciones sucesivas al nivel de confianza de 99%, sin embargo, en la práctica, parece natural que las curvas de potencia para los tamaños de muestras de tamaños similares sean similares entre sí, por otra parte, las curvas características de operación, al estar definidas por diferencia, presentan el comportamiento contrario.